向量点乘与叉乘：理解 a 向量乘以 b 向量的公式

在向量代数中，向量乘法是两个向量的运算，可以产生标量（单个数值）或向量（具有大小和方向）。有两种主要的向量乘法：点乘和叉乘。

向量点乘与叉乘：理解 a 向量乘以 b 向量的公式

点乘

a 向量与 b 向量之间的点乘，记为 a · b，计算为两个向量对应元素的乘积之和。公式为：

``` a · b = ∑(aᵢ bᵢ) ```

其中 n 是向量的维度，aᵢ 和 bᵢ 是向量 a 和 b 中对应元素。

点乘的结果是一个标量，表示两个向量之间的相似度或投影。如果点乘为零，则该向量是正交的。如果点乘为正，则向量在同一方向上；如果点乘为负，则向量在相反的方向上。

叉乘

a 向量与 b 向量之间的叉乘，记为 a × b，计算为一个垂直于两个向量的向量，其大小为两个向量面积的平行四边形。公式为：

``` a × b = (a₂b₃ - a₃b₂)i - (a₁b₃ - a₃b₁)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k ```

其中 i、j 和 k 是标准单位向量。

叉乘的结果是一个向量，其方向由右手定则确定。如果 a 向量和 b 向量共线，则叉乘为零向量。如果 a 向量和 b 向量正交，则叉乘向量平行于两个向量张成的平面。

应用

向量乘法在物理、工程和其他领域有广泛的应用。例如：

力学：计算力矩和功 电磁学：计算磁力和电场 计算机图形：计算交叉点和投影

结论