点到线的距离公式：计算点和直线的距离

在几何学中，点到线的距离是一个关键的概念，它用于确定一个点到一条直线的距离。点到线的距离公式可以帮助我们高效地计算这一距离。

点到线的距离公式：计算点和直线的距离

点到线的距离公式

设直线 L 的方程为：ax + by + c = 0

点 P 的坐标为 (x0, y0)

则点 P 到直线 L 的距离为：

d = |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²)

公式含义

分子：点 P 的坐标代入直线 L 的方程后，得到的结果再取绝对值，表示点 P 到直线 L 的垂足 H 的长度。 分母：直线 L 的斜率 m 和 y 轴截距 b 的值，它表示直线 L 的方向和位置。

公式推导

令点 H 为点 P 到直线 L 的垂足，则 PH 垂直于 L。

根据垂线的定义，PH 与 L 平行，因此 PH 的方向向量与 L 的方向向量 (a, b) 平行。

因此，PH 的方向向量与 L 的方向向量成比例，即：

n = k(a, b)

其中，k 为常数。

点 P 和点 H 的坐标关系为：

P - H = k(a, b)

展开方程并代入点 P 和直线 L 的方程，可得：

(x0 - xh) = ka (y0 - yh) = kb axh + byh + c = 0

解得 xh 和 yh 的值，代入分子中，可得到点 P 到直线 L 的垂足 H 的长度：

|ax0 + by0 + c| / √(a² + b²)

应用

点到线的距离公式在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如：

计算点到几何形状的距离，如多边形和圆形。 在物理学中，计算物体到表面或路径的距离。 在计算机图形学中，用于渲染和碰撞检测。