内切圆半径公式：三角形几何中的关键工具

内切圆半径公式是三角形几何中极为重要的工具，它允许我们计算内切圆的半径，该内切圆与三角形的三个边都相切。该公式为：

内切圆半径公式：三角形几何中的关键工具

``` r = s / (a + b + c) ```

其中：

r 是内切圆的半径 s 是三角形的半周长 a、b 和 c 分别是三角形的三条边

证明：

考虑一个内切于三角形 ABC 的圆，其半径为 r。设三角形的三个边分别为 a、b 和 c。

连接三角形的中心 O 到圆心 I。由于 OI 垂直于 AB、BC 和 AC，因此 O 是三角形的内心（英语：incenter）。

由圆的定义，OI = r。此外，由于 O 是三角形的内心，因此：

``` OA = OB = OC = s - a OB = OC = s - b OC = OA = s - c ```

将这些方程代入勾股定理，我们可以得出：

``` OA^2 + OB^2 + OC^2 = r^2 (s - a)^2 + (s - b)^2 + (s - c)^2 = r^2 ```

展开并化简后得到：

``` s^2 - 2as + a^2 + s^2 - 2bs + b^2 + s^2 - 2cs + c^2 = r^2 3s^2 - 2(a + b + c)s + a^2 + b^2 + c^2 = r^2 ```

整理得：

``` s^2 - 2(a + b + c)s + r^2 + a^2 + b^2 + c^2 = 0 ```

利用求根公式，我们可以得到：

``` r = s / (a + b + c) ```

应用：

内切圆半径公式广泛应用于三角形几何中，包括：

计算内切圆的面积 计算三角形的半径 确定三角形的相似性 解决几何问题